【数学の不思議】クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率は？

水戸市の高校生を対象にしたマンツーマン指導塾、セルフクリエイト水戸校の沖津です。
当塾は、ただ勉強を教えるのではなく、
「勉強のやり方が分からない高校生」のスケジュール作成から実行までのサポート、
「やらなきゃいけないのは分かってるけど、なかなかやる気が起きない高校生」のモチベーションを向上するコーチング指導により、３人に２人が第一志望合格という結果を出す高校生専門塾です。

本日は、いつもと少し違った内容です。

あなたが通っている高校の、あなたのクラスに
あなたと同じ誕生日の人はいると思いますか？

僕は、2月22日生まれなのですが
小学校・中学校・高校のクラスには、
同じ誕生日の人はいませんでした。

むしろ、今まで同じ誕生日の人と出会ったことがありません。

面白いことに、数学の力を使うと
クラスに同じ誕生日の人がいる確率が分かってしまいます。

さらに、予想外の結果が出てきます。

確率を出す条件

条件１
うるう年生まれではない学年(生まれ年度に2月29日ない学年)を対象とします。

条件２
クラスの人数は、35人とします。

条件３
どの誕生日も、1/365の確率であることとします。
(統計上、誕生日が多い順少ない順があるのですが、それは考慮しません。誕生日の多い順は、こちらを参照ください。)

計算してみよう。

今回の計算方法は、余事象を使います。

余事象とは・・・
求めたい確率の真逆を求め、全体から引くことによって、求めたい確率を出す計算方法です。

例えば今回の場合、
「35人の中に同じ誕生日の人がいる確率」を求めるときに、
「35人全員が違う誕生日である確率」を求め、その答えを100%から引きます。

そうすると、「同じ誕生日の人がいる確率」を求めることができます。

では計算をしてみます。

AさんとBさんの誕生日が異なる確率は、
364/365です。

CさんがAさんともBさんとも誕生日が異なる確率は
363/365です。

DさんがAさんともBさんともCさんとも誕生日が異なる確率は
362/365です。

これを、35人になるまで進めます。
そして、最後にこれらの分数を全部掛けると
「35人全員が違う誕生日である確率」を求めることができます。

(364/365)×(363/365)×(362/365)×・・・×(331/365)
＝0.1856…

と計算ができます。
つまり、「35人全員が違う誕生日である確率」は
18.6%ということが分かります。

ここから「クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率」を求めると
100％－18.6%＝81.4%
となります。

かなりの高確率で、同じ誕生日の人がいることが分かります。

数学の力を使うと、想像とは違う結果に

今回紹介した「余事象」は、高校1年生の数学Aで習う内容です。

誕生日の確率のように、実際に計算してみると
想像と全く違う結果になることって意外と多たくさんあります。

実際に計算してみないと本当の数値は分からないものですね。

日常に転がっている不思議な事、数学の力計算してみると面白いですよ。