【80％以上の高１生が躓く数学】二次関数の最大最小の場合分け
水戸市の高校生を対象にしたマンツーマン指導塾、セルフクリエイト水戸校の沖津です。
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今回は、高校1年生の数学の山場の1つ、二次関数の最大最小値の場合分けについて解説をします！
定義域に変数がある場合・ない場合の２パターンを徹底解説しますので、ぜひ最後までご覧ください！
y=x2-2ax+1 (0≦x≦2)における最大値・最小値を求めなさい。
まずは、上記の問題の解き方を解説します。
頂点が変数の場合の最大値・最小値の求め方としてご覧ください。
それでは順を追って解説していきます！
STEP1 平方完成をしてグラフを書こう！
二次関数の最大最小を求めるには、グラフをまずは書こう！
また、頂点が変数の場合の二次関数の最大最小を求める場合、y軸は書かなくて大丈夫です。
x座標のみを示したグラフにおいて、求めていくのがポイントです！
グラフを書くことで、問題の関数がどのような形をしているのかをしっかりと理解することが大切です。
ここから定義域で切って、最大最小値を求めよう！といきたいところですが、そこが難しい部分ですので、順を追って説明していきます。
STEP2 場合分けのパターンを理解しよう！
最大・最小値のパターンは以下の通りです！
今回の問題は下に凸の問題のため、以下のようになります。
グラフを3つ書けたら、それぞれのグラフ上に定義域を書いていきます。
↓最小値の時↓
ポイントは、ある定義域において、頂点（軸）と、両端の高さに着目することです。
①定義域の端の値が頂点より左にあるもの
②定義域の中に頂点が含まれるもの
③定義域が頂点より右にあるもの
↓最大値の時↓
ポイントは、ある定義域において、頂点（軸）と、定義域の中央の値に着目することです。
①定義域の中央の値が軸より左にある
②定義域の中央が軸と同じ値をとる
③定義域の中央が軸より右にある
と、書いていきましょう。
最大・最小値ともに、３パターンあることを理解できればOKです！
次のステップにいきましょう！
STEP3 0≦x≦2の定義域で切ることを考える
まずは、軸を記したグラフを3つ書きます。
最小値の求め方
グラフが3つ書けたら、xの定義域を考慮しながら、上記のような3パターンのグラフで場合分けをしていきます！
あとは、それぞれ、最小値を取るときの値（xの値）を、もとの式に代入していきます。
①は頂点（x=a)より定義域の右端（x＝2）が大きいので2<a
最小値は-4a+5
②は定義域(0≦x≦2)の中に頂点（x=a)が含まれているので、0≦a≦2
最小値は-a2+1
③は頂点（x=a)が定義域の左端（x=0)より小さいので、a<0
最小値は1
このように求めることができますね。
最大値の求め方
最大値も同様に、まずは軸を記したグラフを3つ書きます。
それにそれぞれ、軸の値や定義域の値を書いていきます。
このとき、定義域の0と2だけでなく、定義域の中央の値であるx=1も図示することで理解がしやすくなります。
定義域の中央の値とは、定義域の両端の数(xの値)を足して２で割ると求めることができるので、これも押さえておきましょう！
今回の問題においては、x=(0+2)/2=1となります。
あとは、１よりもaが大きいか小さいか同じかで場合分けをしていきます。
最小値のときと同様にそれぞれの場合における最大のxを代入して、最大値を求めることで問題が解けますね！
①は、定義域の中央(x=1)より、頂点x=aが小さいため、1<a
最大値はx=0のときの値である1
②は、定義域の中央(x=1)と、頂点x=aが同じなため、a=1
最大値はx=0,2のときの値である1
③は、定義域の中央(x=1)より、頂点x=aが大きいためa<1
最大値はx=2のときの値である-4a+5
がそれぞれの正解とわかる。
y=-x2-2x-2 (a≦x≦a+2)における最大値・最小値を求めなさい。
次は、定義域が変数で、かつ上に凸の関数の場合の求め方を紹介します。
ポイントは、この記事冒頭でも紹介しましたが、定義域が文字の関数である場合、
x軸のみを書いてグラフを作成して、最大値・最小値を求める
ということです！
それでは、最大値・最小値を求めていきます。
最大値の求め方
まずは、最大値のパターンと、解答の導き方を紹介します。
定義域が実数であったときと同様、二次関数の特定の範囲における最大値を求める場合は、
軸と定義域の位置関係
に着目しましょう。
下図を見ていただければ理解しやすいかと思います。
パターンは、先ほどの問題で解いたように、
①軸より定義域の右端のxの値（a+2）が小さい時
②定義域の範囲の中に、軸がある時
③軸より定義域の左端のxの値（a）が大きい時
となりますね。
あとは、それぞれ①〜③のパターンにおいて、最小値をとるxの値を元の式に代入することで最大値が求まります。
最小値の求め方
次に、最小値の求め方です。
最小値も、定義域が実数であった時と同様に求めることが可能です。
ポイントは、
定義域の真ん中と軸の位置関係
を考えることです！
今回の場合は、軸がx=1、定義域の真ん中は、先述した求め方で、x=a+1とわかりますね。
これらを使って、求めるパターンは、、、
①定義域の真ん中のxの値が軸のxの値より小さい時
②軸と定義域の真ん中のxの値が同じ時
③軸のxの値より定義域の真ん中のxの値が大きい時
と分かります。
実際のパターンは下図を参照していただければと思います。
あとは、①〜③において、それぞれ最小値を取るxの値をもとの式に代入することで最小値を求めることが可能です。
※②の場合は、aの値が求まるため、その値を代入して最小値を出すことを忘れないようにしよう！
まとめ
このようにして、最大値・最小値を求めることができます。
他にも、定義域の片方の値が文字になったりと様々な問題が出ます。
ですが、今回求めたように、軸の真ん中と定義域の両端の値がそれぞれどのような関係になっているかを考えることで、解くことができるはずです！
ぜひもっと難しい問題にも挑戦して、実力を伸ばしてみてください！
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